计算方法-数值积分

问题定义

求 ，但是 的原函数很难求、 未明确给出（可能只是一张离散的数表），同时对计算精度没有过高的要求。

机械求积公式

尝试用给定的一系列节点的函数值 来线性组合出积分的近似值，即

其中， 是给出函数值的 个节点， 是与前面那 个节点有关，而与 本身无关的一系列系数。显然，机械求积公式的关键是从给出的 确定 。

代数精度

如果一个机械求积公式，它用在所有不超过 次的多项式（即 是不超过 次的多项式）上时能精确成立，而对于 次多项式至少有一个不能精确成立，称这个求积公式有 次代数精度。

例如，梯形公式 有 1 次代数精度：

• 时，精确成立。
• 时，，精确成立。
• 时，不精确成立。

插值型求积公式

将 在 处 Lagrange 插值，得到 ，取

来作为机械求积公式的系数，可以证明这个公式至少有 次代数精度。事实上，如果一个机械求积公式有 次及以上的代数精度，它必然是插值型的。

等距节点的 Newton-Cotes 公式

当求积节点等距时，将区间 分成 等分，记 ，，。

记 ，则

因为 ，将上式除以 ，得到

称之为「Cotes 系数」。由此可以得到等距节点的 Newton-Cotes 公式：

特殊情况

• 梯形公式：，

• Simpson 公式（抛物线公式）：，

• Cotes 公式：，

收敛性

Newton-Cotes 公式并不总是收敛于积分的真值。

数值稳定性

设 的计算值为 ，且 ，则

• 如果 全是正数，有 ，那么

  这个误差不会因为 的增大而增大，数值稳定。

• 如果 有正有负，则 是可能随 变大而无限增长的，数值不稳定。

只有 和 的 Newton-Cotes 公式 是全正的。

代数精度与余项

• 当 为奇数时，NC 公式有 次代数精度。设 ，则总是 ，使得

• 当 为偶数时，NC 公式有 次代数精度。设 ，则总是 ，使得

常用 NC 公式的余项（也就是误差）：

• 梯形公式（）：；
• Simpson 公式（）：；
• Cotes 公式（）：。

复化的 Newton-Cotes 公式

所谓「复化」，是指将区间 进行 等分后，在每个小区间上用一些简单的求积公式（例如梯形公式或 Simpson 公式），然后进行求和。

复化的梯形公式

记 ，。

如果在 的基础上，将每个区间平分，即 ，得到 等分的复化梯形公式 。

记 ，有

这提供了一种计算高阶复化梯形公式的方法。例如，要计算 ，只要按 的顺序算就可以了。

复化的 Simpson 公式

记 ，。

即，用高一阶的复化梯形公式就可以计算出复化 Simpson 公式。这种计算方式比较方便。

复化的 Cotes 公式

使用 和 表示：